الطريقة الأولى: طريقة كرامر
مثال:
أوجد حل المعادلات الخطية الآتية:
2x + y + z = 3
x – y – z = 0
x + 2y + z = 0
قيمة محدد المعاملات
D= 2(-1+2)-1(1+1)+1(2+1) = 2(1)-1(2)+1(3)= 3
D = 3
نوجد قيمة المحدد Dx
Dx = 3(-1+2)-1(0-0)+1(0+0) = 3(1)=3
Dx = 3
المحدد Dy هو نفس المحدد D مع استبدال العمود الثاني منه بالقيم المطلقة
نوجد قيمة المحدد Dy
Dy = 2(0+0) - 3(1+1) +1(0-0) = -3(2) = -6
Dy = -6
المحدد Dz هو نفس المحدد D مع استبدال العمود الثالث منه بالقيم المطلقة
نوجد قيمة المحدد Dz
Dz = 2(0-0) - 1(0-0) +3(2+1) = 9
Dz = 9
نقسم قيم المحددات السابقة على قيمة المحدد D
X = Dx / D
X = 3 / 3
X =1
وبالمثل
Y = Dy / D
Y = -6 / 3
Y = -2
Z = Dz / D
Z = 9 / 3
Z = 3
========================================================================
الطريقة الثانية: المصفوفات
الطريقة الثالثة: الحذف
=====================================================================
* حل النظام الآتي ، ثم تحقَّق من صحّة الحلِّ :
س + ص + ع = 0
3 س + 7 ص = 5
2 ص - 3 ع = 1
معلومات سابقة
* حلّ النظام الآتي جبريا وهندسيا :
3 س+ ص=7،
2 ص- 3س= - 4.
الشرح
تعلمت
حلّ نظام مكوّن من معادلتين خطيتين بمتغيرين بالحذف أو بالتعويض، أو من خلال التمثيل البياني .
وسنتعرف اليوم إلى حلِّ نظام مكون من ثلاث معادلات خطية بثلاثة متغيرات بطرائق عدّة .
مثال(1) :
استخدم طريقة الحذف لحلِّ نظام المعادلات الآتية:
2 س + 3 ص + ع = 4 ...............1
س – 5 ص – ع = 7 .................2
3 س + 4 ص – 2 ع = 3 ...............3
الحل :
نأخذ معادلة 1، 2 ونحذف المتغير ع، ثم نأخذ المعادلتين 2 ، 3 ونحذف المتغير ع أيضا
ثم نكتب المعادلتين الجديدتين، فيصبح النظام مكونا من معادلتين خطيتين بمتغيرين، ونحلُّه كما تعلمنا سابقا.
2 س + 3 ص + ع = 4 ................1
+ س – 5 ص – ع = 7 .................2
3 س - 2 ص = 11 ......4
( س – 5 ص – ع = 7 .................2 ) ×(- 2 )
- 2 س + 10 ص + 2 ع = -14 .......2 بعد ضرب المعادلة 2 في العدد (-2 )
+ 3س + 4 ص – 2 ع = 3 ...............3
س + 14 ص = - 11 .........5
نحلُّ النظام الجديد:
3 س - 2 ص = 11 ......4
( س + 14 ص = - 11 .........5 ) × - 3
أي أن
3 س - 2 ص = 11 ......4
- 3 س - 42 ص = 33 .......5
إذن :
- 44 ص = 44 أي أن ص = - 1
ومن خلال التعويض في بعض المعادلات السابقة تجد أنّ :
س = 3 ، ع = 1
فحل النظام هو : س = 3، ص = - 1 ،ع = 1
تحقّق من صحّة الحلِّ.
سؤال :
حلَّ النظام السابق باستخدام التعويض .
يمكن حلُّ النظام السابق باستخدام المصفوفات كما يلي :
1) ترتب معاملات س في العمود الأول، ومعاملات ص في العمود الثاني، ومعاملات ع في العمود الثالث.
2س + 3 ص + ع = 4 ...............1
س – 5 ص – ع = 7 .................2
3 س + 4 ص – 2 ع = 3 ...............3
مَثِّلِ النظام بالمصفوقات :
2) نجد محددة مصفوفة المعاملات التي نرمز لها مثلا ً بالرمز أ:
| أ | =2 × 14 – 3 × 1 + 1 × 19 = 44
3) نغير العمود الأول في المصفوفةأ( الذي يمثل معاملات المتغير س ) بمصفوفة الحدود المطلقة ، ويرمزللمصفوفة الناتجة بالرمزأس، ثم نجد محددتها :
| أس | = 4 × 14 – 3 × - 11 + 1 × 43 = 132
4) ثم نجد | أص| ، | أع |:
5) ثم نجد قيم كل من س ، ص ، ع كما يلي:
أي أن
س = 3
ص = - 1
ع = 1
تسمى الطريقة السابقة بـ قاعدة (كريمر) . ولكن هل يمكن تطبيق هذه الطريقة لحلِّ النظام إذا كانت | أ | = 0 ؟
نتيجة :
يمكن استخدام قاعدة (كريمر) لحلِّ نظام من ثلاث معادلات خطية بثلاثة متغيرات بشرط أنَّ | أ|≠ 0
الاستنتاج
نستنتج:
- يُحَلُّ نظامٌ من ثلاث معادلات خطية بثلاثة متغيرات، إما بالحذف أو التعويض أو باستخدام المصفوفات .
* حلّ النظام الآتي باستخدام إحدى الطرائق التي تعلمتها في الدرس:
3 س+ ص – ع = 2
س – 2 ص + ع = - 9
4 س + 3 ص + 2 ع = 1
************************************************** ***
خاص لملف انجاز مادة الرياضيات عن موضوع حل نظام من ثلاث معادلات خطية
((((((** بطريقة الحذف**))))))مثال (1) : استخدم طريقة الحذف في حل نظام المعادلات التالي :
س + ص+ ع = صفر ............(1)
2س +3ص+2ع = -3 .........(2)
- س +2ص -3ع = -1 .........(3)
الحل : (1)
نحول نظام المعادلات إلى نظام معادلات بمتغيرين ، ويتم ذلك بحذف أحد المتغيرات وليكن س مثلاً على نحو :
س +ص+ع = صفر ...(1)
- س+2ص+-3ع =-1 ...(3)
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــ
3ص-2ع=-1 ...(4)
بالجمع ينتج :
ولحذف المتغير س من المعادلة رقم (3) نضرب المعادلة رقم (3) بالعدد 2 ونضيفها للمعادلة رقم (2) على النحو :
2س+3ص+2ع = -3 .....(2)
-2س+4ص-6ع = -2 .....(3)
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــ
7ص -4ع = - 5.....(5)
بالجمع ي
وبهذا نحصل على نظام معادلات خطية بمتغيرين ص ، ع في المعادلتين (4) ، (5) ، ولإيجاد قيمة كل من ص ، ع نحذف المتغير (ع) وذلك بضرب المعادلة (4) بالعدد (-2) ثم نضيفها للمعادلة رقم (5) على النحو :
7ص- 4ع = -5 .........(5)
-6ص+4ع = 2 ............(6)
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــ
ص= -3
بالجمع ينتج :
ولإيجاد قيمة المتغير ع نعوض قيمة ص في إحدى المعادلات (4) ، (5) ،(6) ولتكن المعادلة (6) :
أما قيمة المتغير الثالث س فنجدها بتعويض قيمة ص ، ع في إحدى المعادلات الأصلية ولتكن المعادلة (1) :
س-3-4 = صفر ـ س=7
ويكون حل النظام هو س=7 ، ص= -3 ،ع= -4 أي الثلاثي المرتب (7،-3 ، -4) وللتحقق من صحة الحل نعوض قيم س ، ص ، ع بدلاً من المتغيرات في المعادلات الأصلية (1) ، (2) ، (3) فنجد أنها تحققها.
الموضوع الأصلي
http://www.pal-edu.net/vb/showthread.php?t=22057&page=1&s=4f4286d77f55f548bd246c2d7862c9c8#ixzz1dxdcQL2l