التفاضل (بالإنكليزية: Differential calculus) هو أحد فروع علم الرياضيات وهو يعنى بمقدار تناسب التغير عند نقطة معينة في علاقة ما،
ورياضياً مفاضلة الدالة(أو التابع) عند نقطة معينة هو مقياس لمقدار تغير متغير بالنسبة لمتغير آخر.
يعتمد التفاضل على إيجاد معادلة لإيجاد الميل عند نقطة معينة عن طريق تقليل الفرق بين التغير في قيم س إلى صفر تقريبا وهذا هو الاشتقاق .
طريقة الحل
نقوم بالاشتقاق معتمدين على حساب النهايات وفرض متغيرات مختلفة، فمثلا:
كمتغيرات:
Δس = س2 - س1
س1 = س2 - Δس
س2 = Δس + س1
ونفرض Δس = هـ
أو يمكننا فرض س2 = ج
ونقوم بدلا من كتابة ص بكتابة ق(س)
أي أن المعادلة النهائية هي:
ق(س2) - ق(س1)\س2 - س1 : س2---->س1 = ق(س + هـ) - ق(س)\هـ : هـ---->صفر = ق(ج) - ق(س)\ج - س : ج---->س1
[عدل] مثال
أوجد مشتقةس²
وحسب القانون : ق(س+هـ)-ق(س)\هـ : هـ---->صفر
ونعوض في المعادلة
س²+2س هـ+هـ²-س²\هـ : هـ---->صفر
نحل المعادلة
س²-س²+هـ(2س+هـ)\هـ : هـ---->صفر
= هـ(2س+هـ)\هـ : هـ---->صفر
= 2س+هـ : هـ---->صفر
= 2س
وفعلا مشتقة س² = 2س
وكقاعدة عامة، فإن مشتقة أي كثير حدود درجته أكبر من صفر هي:
ق(س) = أسع+ب س(ع-1)+...+ج
قَ(س) = (أ×ع)س(ع-1)+(ب(ع-1))س(ع-2)+...+0
[عدل] الاشتقاق الضمني
هذا الاشتقاق يعمد إلى إيجاد ميول المماسات في الاقترانات التي ليست اقترانات، حيث يعجز الاشتقاق العادي عنها.
فتمثيل الاشتقاق يكون ب (دص\دس) تمثيلا لكتابة ص بواسطة س، أي أن ص = أسع+وسك+...
أي أن قيمة ص تحدد بقيمة س
وإذا أخذنا الاشتقاق (دس\دص) فإننا وقتها نعتبر قيمة س تتغير وفقا ل ص
أي أن س = أصع+وصك+...
إذن دص\دس تعبر عن ق(س) وكذلك دس\دص يعبر عن د(ص)
ودائما يتغير المتغير الذي في الأعلى ويبقى الذي في الأسفل ثابتا
..
[عدل] مثال
إذا أردنا إيجاد دص\دس في الاقتران
ق(س) = س³+3س²-2س+4
قَ(س) = 3س²+6س-2
وهذا وفقا لتعميم
والحل بالطريقة الجديدة
قَ(س) = 3س²(دس\دص)+6س(دس\دص)-2(دس\دص)
وبما أن دس\دص= 1 فإنها لا تؤثر على النتيجة ويكون الجواب النهائي : قَ(س) = 3س²+6س-
